Triconomia
En matematicas, la ley de tricotomía es una
propiedad de algunos conjuntos ordenados, por la cual todos sus elementos son
comparables entre sí.
Sea un conjunto X parcialmente
ordenado por la relación ≤, y sea < la relación de orden estricta asociada.
|
En X se
cumple la ley de tricotomía si para cada par de
elementos x e y, se tiene una sola de las
siguientes relaciones:
·
x < y
·
y < x
·
x = y
|
La ley de tricotomía
es equivalente a que la relación de orden ≤ sea total, esto es, que dados dos
elementos x e y se tenga x ≤ y o y ≤ x (o
ambos). Las relaciones de orden de los numeros naturales, enteros, racionales y
reales cumplen la ley de tricotomía (son órdenes totales). Sin embargo, la
relación de inclusion ⊆ en los subconjuntos de un conjunto
dado no la cumple: puede haber dos conjuntos incomparables tales que ninguno es
subconjunto del otro.
Ejemplos
Si a es mayor que b, y b es mayor que c, entonces, a
es mayor que c.
Una relación binaria R sobre un conjunto A es transitiva cuando se cumple: siempre que un elemento se relaciona con otro y éste último con un tercero, entonces el primero se relaciona con el tercero.
Esto es:
Dado el conjunto A y una relación R, esta relación es transitiva si: a R b y b R c se cumple a R c.
La propiedad anterior se conoce como transitividad.
[editar]Ejemplos
Así por ejemplo dado el conjunto N de los números naturales y la relación binaria "menor o igual que" vemos que es transitiva:
Así, puesto que:
En general las relaciones de orden (ser menor, mayor, igual, menor o igual, mayor o igual) son transitivas.
Tomando de nuevo el conjunto de los números naturales, y la relación divide a:
Para todo valor a, b, c numero natural: si a divide a b y b divide a c entonces a divide a c
Dado que 3|12 (3 divide a 12) y 12|48 (12 divide a 48), la transitividad establece que 3|48 (3 divide a 48).
Sin embargo, no todas las relaciones binarias son transitivas. La relación "no es subconjunto" no es transitiva. Por ejemplo, si X = {1,2,3}, Y={2,3,4,5}, Z={1,2,3,4}. Entonces
Se cumple y pero no se cumple puesto que X es subconjunto de Z.
Otro ejemplo de relación binaria que no es transitiva es "ser la mitad de": 5 es la mitad de 10 y 10 es la mitad de 20, pero 5 no es la mitad de 20.
Una relación binaria R sobre un conjunto A es transitiva cuando se cumple: siempre que un elemento se relaciona con otro y éste último con un tercero, entonces el primero se relaciona con el tercero.
Esto es:
Dado el conjunto A y una relación R, esta relación es transitiva si: a R b y b R c se cumple a R c.
La propiedad anterior se conoce como transitividad.
[editar]Ejemplos
Así por ejemplo dado el conjunto N de los números naturales y la relación binaria "menor o igual que" vemos que es transitiva:
Así, puesto que:
En general las relaciones de orden (ser menor, mayor, igual, menor o igual, mayor o igual) son transitivas.
Tomando de nuevo el conjunto de los números naturales, y la relación divide a:
Para todo valor a, b, c numero natural: si a divide a b y b divide a c entonces a divide a c
Dado que 3|12 (3 divide a 12) y 12|48 (12 divide a 48), la transitividad establece que 3|48 (3 divide a 48).
Sin embargo, no todas las relaciones binarias son transitivas. La relación "no es subconjunto" no es transitiva. Por ejemplo, si X = {1,2,3}, Y={2,3,4,5}, Z={1,2,3,4}. Entonces
Se cumple y pero no se cumple puesto que X es subconjunto de Z.
Otro ejemplo de relación binaria que no es transitiva es "ser la mitad de": 5 es la mitad de 10 y 10 es la mitad de 20, pero 5 no es la mitad de 20.
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