CLASIFICACIÓN DE EXPRESIONES 

ALGEBRAICAS

De acuerdo al número de términos, las expresiones algebraicas se pueden clasificar generalmente en monomios y polinomios.

MONOMIO:
Es una expresión algebraica que consta de un solo término, por ejemplo, 12m⁴, - a² b , 

POLINOMIO:

Son expresiones algebraicas que constan de dos o más términos.

Ejemplo:
a. x+y+z
b. 9m² - 16n⁴
c. 2x⁴ + 5x⁵ - 54x – 135

Los polinomios de dos términos reciben el nombre especial de BINOMIOS.

Ejemplos de binomios:

a. x² - y²
b. a⁴ b⁵ + 3 a² b² c⁷

Los polinomios de tres términos reciben el nombre de TRINOMIOS.

Son ejemplos de trinomios:

a. x² - 10x + 25
b. ab³ + 5a² b⁷ m – 35 abx⁵


ACLARACION IMPORTANTE:

En algunos modernos libros de álgebra, el concepto de polinomio varía mucho del concepto tradicional que acabamos de mencionar.

Veamos este concepto moderno:

“La condición para que una expresión sea polinomio es que todos los exponentes de la variable sean enteros y positivos”

En cambio, la expresión 2x⁵ es un polinomio de acuerdo a la expresión dada, pues su exponente es entero y positivo.

Así también, la cantidad 5 es un polinomio, pues este número lo podemos expresar como 5x0 donde vemos que el exponente es entero y no es negativo.

El lenguaje algebraico en contexto

Se le llama lenguaje algebraico al utilizado para la representacion de valores numericos, cuando estos son desconocidos en magnitud, este lenguaje es el metodo que permite simplificar teoremas o problemas matematicos mostrando generalidades.

Parapoder solucionar los problemass de la vida cotidiana, solemos transcribir a un lenguaje matemático quees el lenguaje algebraico, este lenguaje utiliza letras, números y símbolos matemáticos.

Entonces el lenguaje algebraico es aquel que en el que en su estructura siempre figuran cantidades deconocidas para esto se utilizan frases como; "un numero " "se sabe que una cantidad es el doble de otra" y estas expresiones se unen con los nombres de operaciones basicas para darles un sentido o una relacion entre las variables del problema. ejemplo:

un numero mas cinco es tres veces menor que otro.

Siempre que encontremos la palabra es; este se transformara matematicamente a un signo igual.

Ejemplos:

Juan gasto $16 en dos sombreros, si uno le costo la mitad del otro cuanto le costó cada uno.

esto se representaria como

x+x/2=16

2. Si a un numero se le resta dos se obtendria la mitad de dicho numero.

x-2=x/2

3. la suma de 4 numeros es 5.

x+y+w+z=5

4. la raiz cuadrada de la suma de los cuadrados de dos numeros es diez.

_______

Vx^2+y^2 =10

5. la raiz cuadrada de la suma de dos numeros elevados al cuadrado es 10.

__________

V( x + y ) ^2 =10

se cancelaria el cuadrado y la epresion equivalente seria

x+y=10

CLASIFICACIÓN DE LOS TÉRMINOS ALGEBRAICOS; SEMEJANTES Ó NO SEMEJANTES

De acuerdo con el numero de terminos que contenga una expresion algebraica, esta se puede clasificar en dos tipos:

1.- monomio: es una expresion formada por un solo termino. 3a

2.- polinomio: es una expresion algebraica que indica la suma o resta de dos o mas terminos (puede ser o no semejantes). -3a+5b,4x+5y-2z

Dentro de los polinomios podemos encontar:

*Mono

*Binomios

es un polinomio formado por dos terminos. 4x-2y, 1/4x-2y

Trinomio: es un polinomio que consta de tres terminos. 2x-5b+1/2z, -5ab+1/2zy+4mn

en un polinomio pueden existir muchos terminos semejantes que son dos o mas terminos que tienen la misma parte literal (mismas letras y mismos exponentes). 5x y 3x son semejantes.

Cuando los terminos son semejantes podemos hacer reduccion de terminos semejantes, es decir simplificamos los terminos.

El grado de un polinomio al igual que el grado de un termino puede ser absoluto o relativo. El grado absoluto es el mayor grado de sus terminos.

El grado relativo de un polinomio con respecto a una letra es el mayor exponente que tiene la letra en el polinomio.

partes de un termino algebraico

Se llama término a toda expresión algebraica cuyas partes no están separadas por los signos + o -. Así, por ejemplo xy² es un término algebraico.

En todo término algebraico pueden distinguirse cuatro elementos: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado.

Signo

Los términos que van precedidos del signo + se llaman términos positivos, en tanto los términos que van precedidos del signo – se llaman términos negativos. Pero, el signo + se acostumbra omitir delante de los términos positivos; así pues, cuando un término no va precedido de ningún signo se sobreentiende de que es positivo.

Coeficiente

Se llama coeficiente al número o letra que se le coloca delante de una cantidad para multiplicarla. El coeficiente indica el número de veces que dicha cantidad debe tomarse como sumando. En el caso de que una cantidad no vaya precedida de un coeficiente numérico se sobreentiende que el coeficiente es la unidad.

Parte literal

La parte literal está formada por las letras que haya en el término.

Grado

El grado de un término con respecto a una letra es el exponente de dicha letra. Así, por ejemplo el término x³y²z, es de tercer grado con respecto a x, de segundo grado con respecto a y  y de primer grado con respecto a x.

Expresiones algebraicas en contexto

Se llama expresión algebraica a toda constante, variable o bien a toda combinación de constantes y potencias de variables que estén ligadas por alguno de los símbolos +, -, x, ÷ en un número finito.

En la solución de un ejercicio, problema de una teoría, un símbolo (generalmente una letra) que se usa para representar un número real arbitrario se llama variable real.

Dentro del proceso de solución de un ejercicio o problema, un simbolo que se usa para representar un número real fijo se llama constante real.

Una expresión algebráica es una cadena de símbolos matemáticos que indican una cantidad finita de operaciones básicas entre funciones elementales, como raíces, exponenciales, logaritmos, funciones trigonométricas y también composiciones de dichas funciones. Suena muy revuelto pero como ejemplo veamos las siguientes tres expresiones:

En estas expresiones vemos involucrados: números y letras sumados, multiplicados, divididos, con exponentes de varios tipos, con raíces cuadradas y hasta logaritmos; así de complejas pueden ser las expresiones algebráicas.

necesitaremos conocer los elementos de las expresiones algebráicas, y establecer un orden para las operaciones:

VARIABLE:

Son cantidades expresadas con letra que pueden tomar valores dentro de un subconjunto de números reales. Casi siempre se utilizan las últimas letras del abecedario (x, y, z, etc.) para denotar variables.

CONSTANTES:

Son cantidades fijas expresadas con letra, casi siempre se utilizan las primeras letras del abecedario para denotar constantes (a, b, c, etc).

COEFICIENTES:

Son los números que aparecen multiplicando a las variables.

EXPONENTES:

Son los superíndices que afectan a los diversos términos de las expresiones.

Son ciertas partes que componen una expresión algebráica que en los polinomios se identifican muy fácilmente.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

 CLASIFICACIÓN Y OPERACIONES

Una expresion algebraica es dónde exista variable, es una expresión algebraica que consta de un sólo símbolo o de varios símbolos no separados entre sí por el signo + ó -.

Las expresiones algebraicas se clasifican en:

·                     Monomio

·                     Binomio

·                     Polinomio

MONOMIO: Es una expresión algebraica que consta de un solo término,las unicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de xponente natural.

Un monomio posee una serie de elementos con denominacion especifica:

1.            signo

2.            coeficiente

3.            perte literal

4.            grado

Ejemplos: 

BINOMIO:  Es una expresión algebraica que consta de 2 términos, se refiere a un polinomio formado por dos monomios, se usa mas facil para indicar cualquier expresion que consta de una suma o resta de dos terminos.

Al afectuar productos con binomios que tienen los mismos terminos podemos obtener lo siguiente:

(a+b)2 = (a+b) (a+b).

Ejemplos:

POLINOMIO:  Es una expresión algebraica que consta de más de un término, se encuentra sobre un anillo conmutativo A constituida por un numero finito de variables y constantes, utilizando solamente en operaciones de adiccion, sustraccion, multiplicacion y potenciacion con exonentes de numeros naturales.

Ejemplos:

Las operaciones de las expresones algebraicas son:

·                     la suma

·                     la resta

·                     la multiplicacion

·                     la division

SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS:

Se suman ó restan los coeficientes ( fracciones), se deja la misma parte literal con sus grados. Se antepone el signo del término que tenga el mayor coeficiente numerico.

MULTIPLICACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Para multiplicar expresiones algebraicas no es necesario que los términos sean semejantes. Se multiplican los coeficientes (fracciones), se deja la misma parte literal y se suman los grados. Si los 2 ó más términos tienen signos iguales se antepone (+) al término. Si tienen signos contrarios se debe anteponer (-).
Ejemplos: 3xy (4x²y³) = 12x³y⁴

DIVISIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Para dividir expresiones algebraicas no es necesario que los términos sean semejantes. Se dividen los coeficientes, se deja la misma parte literal y se restan los grados.
Ejemplos: 3xy / 4x²y³ = 3 / 4xy²

RADICALES

Un radical es equivalente a una potencia de

exponente fraccionario en la que el denominador

de la fracción es el índice del radical y el numerador

de la fracción es el exponente el radicando.

 Radicales equivalentes

Dos o más radicales se dicen equivalentes si las

fracciones de los exponentes de las potencias

asociadas son equivalentes.

 Dado un radical se pueden obtener infinitos radicales

semejantes, multiplicando o dividiendo el

exponente del radicando y el índice de la raíz por un

mismo número. Si se multiplica se llama amplificar y

si se divide se llama simplificar el radical.

Radical irreducible, cuando la fracción de la potencia

asociada es irreducible.

EJEMPLOS:

Número	Simplificado	En decimal	¿Radical o no?
√2	√2	1.4142135(etc)	Radical
√3	√3	1.7320508(etc)	Radical
√4	2	2	No es radical
√(1/4)	1/2	0.5	No es radical
3√(11)	3√(11)	2.2239800(etc)	Radical
3√(27)	3	3	No es radical
5√(3)	5√(3)	1.2457309(etc)	Radical

Notación científica

La notación científica es un recurso matemático empleado para simplificar cálculos y representar en forma concisa números muy grandes o muy pequeños. Para hacerlo se usan potencias de diez.

Básicamente, la notación científica consiste en representar un número entero o decimal como potencia de diez.

En el sistema decimal, cualquier número real puede expresarse mediante la denominada notación científica.

Para expresar un número en notación científica identificamos la coma decimal (si la hay) y la desplazamos hacia la izquierda si el número a convertir es mayor que 10, en cambio, si el número es menor que 1 (empieza con cero coma) la desplazamos hacia la derecha tantos lugares como sea necesario para que (en ambos casos) el único dígito que quede a la izquierda de la coma esté entre 1 y 9 y que todos los otros  dígitos aparezcan a la derecha de la coma decimal.

Es más fácil entender con ejemplos:

732,5051  = 7,325051 • 10²  (movimos la coma decimal 2 lugares hacia la izquierda)

−0,005612  =  −5,612 • 10⁻³  (movimos la coma decimal 3 lugares hacia la derecha).

Nótese que la cantidad de lugares que movimos la coma (ya sea a izquierda o derecha) nos indica el exponente que tendrá la base 10 (si la coma la movemos dos lugares el exponente es 2, si lo hacemos por 3 lugares, el exponente es 3, y así sucesivamente.

Otro ejemplo, representar en notación científica: 7.856,1

1. Se desplaza la coma decimal hacia la izquierda, de tal manera que antes de ella sólo quede un dígito entero diferente de cero (entre 1 y 9), en este caso el 7.

7,8561

La coma se desplazó 3 lugares.

2. El número de cifras desplazada indica el exponente de la potencia de diez; como las cifras desplazadas son 3, la potencia es de 10³.

3. El signo del exponente es positivo si la coma decimal se desplaza a la izquierda, y es negativo si se desplaza a la derecha. Recuerda que el signo positivo en el caso de los exponentes no se anota; se sobreentiende.

Por lo tanto, la notación científica de la cantidad 7.856,1 es:

7,8561 • 10³

En la potencia de potencia los exponentes se 

multiplican

Los exponentes también se llaman potencias o índices

ejemplos

2 ⁵   =  2 • 2 • 2 • 2 • 2 =  32    El exponente es 5, esto  significa que la base, el 2, se debe multiplicar por sí misma cinco veces.

3 ² = 3 • 3 =  9                      El exponente es 2, esto significa que la base (3) se debe multiplicar por sí misma dos veces.

5 ⁴ =  5 • 5 • 5 • 5  =  625       El exponente es 4, esto significa que la base (5) se debe multiplicar por sí misma cuatro veces.

Los exponentes, los radicales y la notación científica

La notación científica es un recurso matemático empleado para simplificar cálculos y representar en forma concisa números muy grandes o muy pequeños. Para hacerlo se usan potencias de diez.

Básicamente, la notación científica consiste en representar un número entero o decimal como potencia de diez.

En el sistema decimal, cualquier número real puede expresarse mediante la denominada notación científica.

Para expresar un número en notación científica identificamos la coma decimal (si la hay) y la desplazamos hacia la izquierda si el número a convertir es mayor que 10, en cambio, si el número es menor que 1 (empieza con cero coma) la desplazamos hacia la derecha tantos lugares como sea necesario para que (en ambos casos) el único dígito que quede a la izquierda de la coma esté entre 1 y 9 y que todos los otros  dígitos aparezcan a la derecha de la coma decimal.

Es más fácil entender con ejemplos:

732,5051  = 7,325051 • 102  (movimos la coma decimal 2 lugares hacia la izquierda)

−0,005612  =  −5,612 • 10−3  (movimos la coma decimal 3 lugares hacia la derecha).

Nótese que la cantidad de lugares que movimos la coma (ya sea a izquierda o derecha) nos indica el exponente que tendrá la base 10 (si la coma la movemos dos lugares el exponente es 2, si lo hacemos por 3 lugares, el exponente es 3, y así sucesivamente.

Triconomia

En matematicas, la ley de tricotomía es una propiedad de algunos conjuntos ordenados, por la cual todos sus elementos son comparables entre sí.

Sea un conjunto X parcialmente ordenado por la relación ≤, y sea < la relación de orden estricta asociada.

En X se cumple la ley de tricotomía si para cada par de elementos x e y, se tiene una sola de las siguientes relaciones: ·         x < y ·         y < x ·         x = y

La ley de tricotomía es equivalente a que la relación de orden ≤ sea total, esto es, que dados dos elementos x e y se tenga x ≤ y o y ≤ x (o ambos). Las relaciones de orden de los numeros naturales, enteros, racionales y reales cumplen la ley de tricotomía (son órdenes totales). Sin embargo, la relación de inclusion ⊆ en los subconjuntos de un conjunto dado no la cumple: puede haber dos conjuntos incomparables tales que ninguno es subconjunto del otro.

Ejemplos

 Si a es mayor que b, y b es mayor que c, entonces, a es mayor que c. 
Una relación binaria R sobre un conjunto A es transitiva cuando se cumple: siempre que un elemento se relaciona con otro y éste último con un tercero, entonces el primero se relaciona con el tercero. 
Esto es: 

Dado el conjunto A y una relación R, esta relación es transitiva si: a R b y b R c se cumple a R c. 
La propiedad anterior se conoce como transitividad. 
[editar]Ejemplos 
Así por ejemplo dado el conjunto N de los números naturales y la relación binaria "menor o igual que" vemos que es transitiva: 

Así, puesto que: 

En general las relaciones de orden (ser menor, mayor, igual, menor o igual, mayor o igual) son transitivas. 
Tomando de nuevo el conjunto de los números naturales, y la relación divide a: 

Para todo valor a, b, c numero natural: si a divide a b y b divide a c entonces a divide a c 
Dado que 3|12 (3 divide a 12) y 12|48 (12 divide a 48), la transitividad establece que 3|48 (3 divide a 48). 
Sin embargo, no todas las relaciones binarias son transitivas. La relación "no es subconjunto" no es transitiva. Por ejemplo, si X = {1,2,3}, Y={2,3,4,5}, Z={1,2,3,4}. Entonces 
Se cumple y pero no se cumple puesto que X es subconjunto de Z. 
Otro ejemplo de relación binaria que no es transitiva es "ser la mitad de": 5 es la mitad de 10 y 10 es la mitad de 20, pero 5 no es la mitad de 20. 

RELACIÓN DE ORDEN DE LOS NÚMEROS

 NOTABLES

Para contar siempre llevamos un orden, 1 despues el 2, luego el 3 y luego el 4.
La correspondencia uno a uno entre el conjunto de los números reales y los puntos de una recta numerica permite representar geométricamente la relación de orden de los números reales, según la cual los números reales son ordenados.

Si a y b son números reales, entonces se tiene lo siguiente:

 Sia a-b es mayor que cero, es  decir , a-b > 0,  a es mayor que b, lo que se simboliza con  a > b. El símbolo > significa " mayor que". 

Si a - b  es menor que cero, entonces a es menor que b, lo que se escribe a < b. El símbolo < significa "menor que".

Si a - b = 0, entonces a = b

Respecto a la recta numérica, se tiene que a > b  si el número a se ubica a la derecha de b;  a la vez , a < b si a se localiza a la izquierda de b. Por lo tanto, sólo una de las expresiones siguientes es verdadera:

                                                  a > b   ,      a  < b  ,   o bien   a = b

Esta propiedad recibe el nombre  de ley de tricotomia.

Ejemplos:

Para ordenar "5 y 2"3. Se calcula su diferencia: "5 - 2"3 =2,24 - 2 . 1, 73 = 2,24 - 3,46 = -1,22 < 0. Como el resultado es negativo, significa que 2"3 > "5.

Un conjunto de números reales se puede ordenar en forma decreciente (mayor a menor), utilizando la relación >. Si aparecen números irracionales se deben aproximar.

Por ejemplo, para ordenar en forma decreciente los números 0,065; - 1,3; -5/3; 4,5; 0,06; 0,1; 8,32; "5/2, utilizando la relación > con aproximación a las centesimas.

Se escriben los números racionales y los irracionales en forma decimal, con aproximación a las centesimas, es decir, con dos cifras decimales:

-5/3= -1,67 "5/2= 1,12

Luego se ordenan los números de mayor a menor:

8,32 > 4,5 > 1,12 > 0,1 > 0,065 > 0,06 > -1,3 > -1,67

Entonces los números con los valores originales quedarían ordenados así:

8,32 > 4,5 > "5/2 > 0,1 > 0,065 > 0,06 > -1,3 > -5/3

Para ordenar en forma creciente (de menor a mayor) un conjunto de números reales, se utiliza el signo <. Si hay números que no están expresados en forma decimal, se escriben en forma decimal y luego se comparan y ordenan.

BINOMIOS CONJUGADOS

 Se les llama binomios conjugados al producto de la suma de dos números por su diferencia; es decir que tienen los mismos términos, pero uno con signo contrario, por ejemplo:

(a+b)(a–b)

 o se puede usar la siguiente regla:

        El producto de dos binomios conjugados es igual al cuadrado del primer término, menos el cuadrado del segundo término.

        En nuestro caso (a + b)(a – b)

        a) el cuadrado del primer término ( a )²= ( a ) ( a ) = a²

        b) menos el cuadrado del segundo

-(b)² = - (b) (b)= -b²

(a + b) (a – b) = a² – b²

      Ejemplos:

1. (5x – 3y) (5x + 3y)= (5x)²(3y)² =25x² – 9 y²

2. ( 7 a²-3b²) (7 a² +3b²) = ( 7 a²)²- (3b²)² =49 a⁴ – 9b²

3. ( 10 x y² +4x²z) (10 x y^{2 –} 4x²z) =100x² y⁴ –16x⁴ z²

NÚMEROS IMAGINARIOS Y COMPLEJOS EN CONTEXTO

Los imaginarios y complejos en contexto

En matemáticas, un número imaginario es un número complejo cuya parte real es igual a cero, por ejemplo: 5i\  es un número imaginario, así como i\  o  -i\  son también números imaginarios. En otras palabras, es un número de la forma:

   z = x + y \, i

   \; : \quad

   x = 0

Un número imaginario puede describirse como el producto de un número real por la unidad imaginaria i, en donde la letra i denota la raíz cuadrada de -1 :

   i =

   \sqrt{-1}

1 2 3

NÚMEROS COMPLEJOS Y OPERACIONES 

Un número complejo es una combinación de un número real y un número imaginario

Ejemplos:

1 + i

12 - 3.1i

-0.85 - 2i

π + πi

√2 + i/2

El término número complejo (C) describe la suma de un número real y un número imaginario (a+bi); los números imaginarios son resultado de las raíces cuadradas de números negativos, se representan como bi, donde b es un número real, resultado de la raíz cuadrada e “i” la raíz cuadrada del número negativo (√-1). 

RADICACION

En matemática, la radicación de orden n de un número a es cualquier número b tal que , donde n se llama índice u orden, ase denomina radicando, y b es una raíz enésima, por lo que se suele conocer también con ese nombre. La notación a seguir tiene varias formas:

.

Potenciación

La potenciación es una operación matemática entre dos términos denominados: base a y exponente n. Se escribe aⁿ y se lee usualmente como «a elevado a n» o «a elevado a la n» y el sufijo en femenino correspondiente al exponente n. 

Ejemplos:

El exponente de un número dice cuántas veces se multiplica el número.

En este ejemplo: 8² = 8 × 8 = 64

En palabras: 8² se puede leer "8 a la segunda potencia", "8 a la potencia 2" o simplemente "8 al cuadrado"