CLASIFICACIÓN DE EXPRESIONES 

ALGEBRAICAS

De acuerdo al número de términos, las expresiones algebraicas se pueden clasificar generalmente en monomios y polinomios.

MONOMIO:
Es una expresión algebraica que consta de un solo término, por ejemplo, 12m⁴, - a² b , 

POLINOMIO:

Son expresiones algebraicas que constan de dos o más términos.

Ejemplo:
a. x+y+z
b. 9m² - 16n⁴
c. 2x⁴ + 5x⁵ - 54x – 135

Los polinomios de dos términos reciben el nombre especial de BINOMIOS.

Ejemplos de binomios:

a. x² - y²
b. a⁴ b⁵ + 3 a² b² c⁷

Los polinomios de tres términos reciben el nombre de TRINOMIOS.

Son ejemplos de trinomios:

a. x² - 10x + 25
b. ab³ + 5a² b⁷ m – 35 abx⁵


ACLARACION IMPORTANTE:

En algunos modernos libros de álgebra, el concepto de polinomio varía mucho del concepto tradicional que acabamos de mencionar.

Veamos este concepto moderno:

“La condición para que una expresión sea polinomio es que todos los exponentes de la variable sean enteros y positivos”

En cambio, la expresión 2x⁵ es un polinomio de acuerdo a la expresión dada, pues su exponente es entero y positivo.

Así también, la cantidad 5 es un polinomio, pues este número lo podemos expresar como 5x0 donde vemos que el exponente es entero y no es negativo.

El lenguaje algebraico en contexto

Se le llama lenguaje algebraico al utilizado para la representacion de valores numericos, cuando estos son desconocidos en magnitud, este lenguaje es el metodo que permite simplificar teoremas o problemas matematicos mostrando generalidades.

Parapoder solucionar los problemass de la vida cotidiana, solemos transcribir a un lenguaje matemático quees el lenguaje algebraico, este lenguaje utiliza letras, números y símbolos matemáticos.

Entonces el lenguaje algebraico es aquel que en el que en su estructura siempre figuran cantidades deconocidas para esto se utilizan frases como; "un numero " "se sabe que una cantidad es el doble de otra" y estas expresiones se unen con los nombres de operaciones basicas para darles un sentido o una relacion entre las variables del problema. ejemplo:

un numero mas cinco es tres veces menor que otro.

Siempre que encontremos la palabra es; este se transformara matematicamente a un signo igual.

Ejemplos:

Juan gasto $16 en dos sombreros, si uno le costo la mitad del otro cuanto le costó cada uno.

esto se representaria como

x+x/2=16

2. Si a un numero se le resta dos se obtendria la mitad de dicho numero.

x-2=x/2

3. la suma de 4 numeros es 5.

x+y+w+z=5

4. la raiz cuadrada de la suma de los cuadrados de dos numeros es diez.

_______

Vx^2+y^2 =10

5. la raiz cuadrada de la suma de dos numeros elevados al cuadrado es 10.

__________

V( x + y ) ^2 =10

se cancelaria el cuadrado y la epresion equivalente seria

x+y=10

CLASIFICACIÓN DE LOS TÉRMINOS ALGEBRAICOS; SEMEJANTES Ó NO SEMEJANTES

De acuerdo con el numero de terminos que contenga una expresion algebraica, esta se puede clasificar en dos tipos:

1.- monomio: es una expresion formada por un solo termino. 3a

2.- polinomio: es una expresion algebraica que indica la suma o resta de dos o mas terminos (puede ser o no semejantes). -3a+5b,4x+5y-2z

Dentro de los polinomios podemos encontar:

*Mono

*Binomios

es un polinomio formado por dos terminos. 4x-2y, 1/4x-2y

Trinomio: es un polinomio que consta de tres terminos. 2x-5b+1/2z, -5ab+1/2zy+4mn

en un polinomio pueden existir muchos terminos semejantes que son dos o mas terminos que tienen la misma parte literal (mismas letras y mismos exponentes). 5x y 3x son semejantes.

Cuando los terminos son semejantes podemos hacer reduccion de terminos semejantes, es decir simplificamos los terminos.

El grado de un polinomio al igual que el grado de un termino puede ser absoluto o relativo. El grado absoluto es el mayor grado de sus terminos.

El grado relativo de un polinomio con respecto a una letra es el mayor exponente que tiene la letra en el polinomio.

partes de un termino algebraico

Se llama término a toda expresión algebraica cuyas partes no están separadas por los signos + o -. Así, por ejemplo xy² es un término algebraico.

En todo término algebraico pueden distinguirse cuatro elementos: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado.

Signo

Los términos que van precedidos del signo + se llaman términos positivos, en tanto los términos que van precedidos del signo – se llaman términos negativos. Pero, el signo + se acostumbra omitir delante de los términos positivos; así pues, cuando un término no va precedido de ningún signo se sobreentiende de que es positivo.

Coeficiente

Se llama coeficiente al número o letra que se le coloca delante de una cantidad para multiplicarla. El coeficiente indica el número de veces que dicha cantidad debe tomarse como sumando. En el caso de que una cantidad no vaya precedida de un coeficiente numérico se sobreentiende que el coeficiente es la unidad.

Parte literal

La parte literal está formada por las letras que haya en el término.

Grado

El grado de un término con respecto a una letra es el exponente de dicha letra. Así, por ejemplo el término x³y²z, es de tercer grado con respecto a x, de segundo grado con respecto a y  y de primer grado con respecto a x.

Expresiones algebraicas en contexto

Se llama expresión algebraica a toda constante, variable o bien a toda combinación de constantes y potencias de variables que estén ligadas por alguno de los símbolos +, -, x, ÷ en un número finito.

En la solución de un ejercicio, problema de una teoría, un símbolo (generalmente una letra) que se usa para representar un número real arbitrario se llama variable real.

Dentro del proceso de solución de un ejercicio o problema, un simbolo que se usa para representar un número real fijo se llama constante real.

Una expresión algebráica es una cadena de símbolos matemáticos que indican una cantidad finita de operaciones básicas entre funciones elementales, como raíces, exponenciales, logaritmos, funciones trigonométricas y también composiciones de dichas funciones. Suena muy revuelto pero como ejemplo veamos las siguientes tres expresiones:

En estas expresiones vemos involucrados: números y letras sumados, multiplicados, divididos, con exponentes de varios tipos, con raíces cuadradas y hasta logaritmos; así de complejas pueden ser las expresiones algebráicas.

necesitaremos conocer los elementos de las expresiones algebráicas, y establecer un orden para las operaciones:

VARIABLE:

Son cantidades expresadas con letra que pueden tomar valores dentro de un subconjunto de números reales. Casi siempre se utilizan las últimas letras del abecedario (x, y, z, etc.) para denotar variables.

CONSTANTES:

Son cantidades fijas expresadas con letra, casi siempre se utilizan las primeras letras del abecedario para denotar constantes (a, b, c, etc).

COEFICIENTES:

Son los números que aparecen multiplicando a las variables.

EXPONENTES:

Son los superíndices que afectan a los diversos términos de las expresiones.

Son ciertas partes que componen una expresión algebráica que en los polinomios se identifican muy fácilmente.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

 CLASIFICACIÓN Y OPERACIONES

Una expresion algebraica es dónde exista variable, es una expresión algebraica que consta de un sólo símbolo o de varios símbolos no separados entre sí por el signo + ó -.

Las expresiones algebraicas se clasifican en:

·                     Monomio

·                     Binomio

·                     Polinomio

MONOMIO: Es una expresión algebraica que consta de un solo término,las unicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de xponente natural.

Un monomio posee una serie de elementos con denominacion especifica:

1.            signo

2.            coeficiente

3.            perte literal

4.            grado

Ejemplos: 

BINOMIO:  Es una expresión algebraica que consta de 2 términos, se refiere a un polinomio formado por dos monomios, se usa mas facil para indicar cualquier expresion que consta de una suma o resta de dos terminos.

Al afectuar productos con binomios que tienen los mismos terminos podemos obtener lo siguiente:

(a+b)2 = (a+b) (a+b).

Ejemplos:

POLINOMIO:  Es una expresión algebraica que consta de más de un término, se encuentra sobre un anillo conmutativo A constituida por un numero finito de variables y constantes, utilizando solamente en operaciones de adiccion, sustraccion, multiplicacion y potenciacion con exonentes de numeros naturales.

Ejemplos:

Las operaciones de las expresones algebraicas son:

·                     la suma

·                     la resta

·                     la multiplicacion

·                     la division

SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS:

Se suman ó restan los coeficientes ( fracciones), se deja la misma parte literal con sus grados. Se antepone el signo del término que tenga el mayor coeficiente numerico.

MULTIPLICACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Para multiplicar expresiones algebraicas no es necesario que los términos sean semejantes. Se multiplican los coeficientes (fracciones), se deja la misma parte literal y se suman los grados. Si los 2 ó más términos tienen signos iguales se antepone (+) al término. Si tienen signos contrarios se debe anteponer (-).
Ejemplos: 3xy (4x²y³) = 12x³y⁴

DIVISIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Para dividir expresiones algebraicas no es necesario que los términos sean semejantes. Se dividen los coeficientes, se deja la misma parte literal y se restan los grados.
Ejemplos: 3xy / 4x²y³ = 3 / 4xy²

RADICALES

Un radical es equivalente a una potencia de

exponente fraccionario en la que el denominador

de la fracción es el índice del radical y el numerador

de la fracción es el exponente el radicando.

 Radicales equivalentes

Dos o más radicales se dicen equivalentes si las

fracciones de los exponentes de las potencias

asociadas son equivalentes.

 Dado un radical se pueden obtener infinitos radicales

semejantes, multiplicando o dividiendo el

exponente del radicando y el índice de la raíz por un

mismo número. Si se multiplica se llama amplificar y

si se divide se llama simplificar el radical.

Radical irreducible, cuando la fracción de la potencia

asociada es irreducible.

EJEMPLOS:

Número	Simplificado	En decimal	¿Radical o no?
√2	√2	1.4142135(etc)	Radical
√3	√3	1.7320508(etc)	Radical
√4	2	2	No es radical
√(1/4)	1/2	0.5	No es radical
3√(11)	3√(11)	2.2239800(etc)	Radical
3√(27)	3	3	No es radical
5√(3)	5√(3)	1.2457309(etc)	Radical